Задача 58168

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Раскраски ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

На рис. изображен шестиугольник, разбитый на чёрные и белые треугольники так, что каждые два треугольника имеют либо общую сторону (и тогда они окрашены в разные цвета), либо общую вершину, либо не имеют общих точек, а каждая сторона шестиугольника является стороной одного из черных треугольников. Докажите, что десятиугольник разбить таким образом нельзя.

Решение

Предположим, что мы разбили десятиугольник требуемым образом. Пусть n – число сторон чёрных треугольников, m – число сторон белых треугольников. Так как каждая сторона чёрного треугольника (кроме сторон многоугольника) является также и стороной белого треугольника, то
n – m = 10.  С другой стороны, оба числа n и m делятся на 3. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	23.009