ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58174
Тема:    [ Эйлерова характеристика ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
Название задачи: Формула Эйлера.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

Решение

Пусть n — количество вершин исходного многоугольника, n1,..., np — количества вершин полученных многоугольников (к вершинам данного многоугольника мы относим и все вершины других многоугольников, лежащие на его сторонах). Представим число r в виде r = n + r1 + r2, где r1 и r2 -- количества вершин полученных многоугольников, лежащих на сторонах исходного многоугольника и внутри его. С одной стороны, сумма углов всех полученных многоугольников равна $ \sum\limits_{i=1}^{p}$(ni - 2)$ \pi$ = $ \sum\limits_{i=1}^{p}$ni$ \pi$ - 2p$ \pi$. С другой стороны, она равна (n - 2)$ \pi$ + r1$ \pi$ + 2r2$ \pi$. Остается заметить, что $ \sum\limits_{i=1}^{p}$ni = 2(q - n - r1) + n + r1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 23
Название Делимость, инварианты, раскраски
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Инварианты
Тема Инварианты
задача
Номер 23.015

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .