Задача 58230

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 5 Классы: 7,8

Условие

а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.

Решение

а) Можно считать, что BC/AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (см. рис.). Может оказаться, что треугольники 4 и 5 равны, т. е. k + k³ = k⁴. В этом случае дополним конструкцию треугольниками 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Тогда треугольники 7 и 8 не равны, т. е. k⁶ ≠ k + k³ + k⁵. В самом деле, так как k + k³ = k⁴, то k⁶ = k²(k + k³) = k³ + k⁵ < k + k³ + k⁵.

б) Предположим, что правильный треугольник разрезан на неравные правильные треугольники. Стороны двух треугольников разбиения не могут совпадать. Будем рассматривать только стороны треугольников разбиения, лежащие внутри (не на границе) исходного треугольника; пусть N — число таких сторон. Возникает три типа вершин треугольников разбиения (см. рис.). Из каждой вершины 1-го, 2-го и 3-го типа выходит соответственно 4, 12 и 6 сторон. Пусть n₁, n₂ и n₃ — количества точек 1-го, 2-го и 3-го типа. Тогда N = (4n₁ + 12n₂ + 6n₃)/2 = 2n₁ + 6n₂ + 3n₃.
Каждой точке 3-го типа можно сопоставить 3 стороны (на рис. это стороны AB, OP и OQ). Легко проверить, что каждая сторона будет соответствовать хотя бы одной точке 3-го типа. Следовательно, N3n₃, а значит, 2n₁ + 6n₂ 0. В частности, n₁ = 0, т. е. разбиение состоит лишь из исходного треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	2
Название	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами
Тема	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами
задача
Номер	25.011