ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58235
Тема:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более n сторон.
б) Докажите, что если n чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более n - 1 сторон.

Решение

а) Прямая, на которой лежит сторона многоугольника разбиения, проходит через две вершины исходного многоугольника, а через каждую вершину исходного многоугольника может проходить не более двух таких прямых. Поэтому число сторон многоугольника разбиения не больше числа вершин исходного многоугольника.
б) Те же самые рассуждения, что и при решении задачи а), показывают, что полученный многоугольник имеет не более n сторон, причём если число его сторон равно n, то из каждой вершины исходного многоугольника выходят ровно две диагонали, ограничивающих полученный многоугольник. Пусть из вершины A1 выходят две диагонали A1Ap и A1Aq, ограничивающие полученный многоугольник. Тогда Ap и Aq — соседние вершины, поскольку иначе внутри угла ApA1Aq была бы диагональ, разрезающая полученный многоугольник. Действительно, вершину, лежащую между Ap и Aq, нужно было бы соединить с вершиной, лежащей между A1 и Ap или между A1 и Aq. Изменив при необходимости направление нумерации вершин, можно считать, что q = p + 1 и p$ \le$n/2. Если исключить диагональ A1Ap + 1, то любая другая диагональ, ограничивающая полученный многоугольник, соединяет одну из вершин с номером от 2 до p с некоторой вершиной. Поэтому всего у полученного многоугольника может быть не более 1 + $ \left(\vphantom{\frac{n}{2}-1}\right.$$ {\frac{n}{2}}$ - 1$ \left.\vphantom{\frac{n}{2}-1}\right)$ . 2 = n - 1 сторон. Чтобы получить пример n-угольника, при разрезании которого получается (n - 1)-угольник, можно взять правильный (n - 1)-угольник и отрезать от него маленький треугольник, т.е. вместо вершины A1 взять две вершины A1' и An, расположенные на сторонах A1A2 и A1An - 1 вблизи вершины A1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 25
Название Разрезания, разбиения, покрытия
Тема Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер 3
Название Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер 25.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .