ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58238
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Подобные фигуры ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.


Решение

  Пусть отрезок MN, где точки M и N лежат на сторонах AB и CD, разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёхугольника NMBC. С другой стороны,  ∠NMB = 180° – ∠AMN.  Поэтому если
AMN = ∠NMB,  то  ∠NMB = 90°,  а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC, то в этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме 180°. Проведя аналогичные рассуждения для угла MND, получаем, что либо  ABMN  и  CDMN  (и тогда
AB || CD),  либо в четырёхугольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180°; без ограничения общности можно считать, что один из них – угол BMN. Рассмотрим три случая.
  1)  ∠BMN + ∠MNC = 180°.  Тогда  BM || CN, а значит, и  AB || CD.
  2)  ∠BMN + ∠MBC = 180°.   Тогда  MN || BC. Поэтому либо  AD || MN,  либо  ND || MA.
  3)  ∠BMN + ∠BCN = 180°.  Тогда четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно,
BCN = 180° – ∠BMN  и  ∠ADN = 180° – ∠AMN = ∠BMN,  то есть  BC || AD.

Замечания

В журнале "Квант" данная задача была в следующей формулировке:
  Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М12
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 25
Название Разрезания, разбиения, покрытия
Тема Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер 3
Название Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер 25.019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .