Информация о задаче

Задача 58239

Тема:

[

Свойства частей, полученных при разрезаниях

]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.

Решение

Сумма длин границ всех фигур, на которые разбит квадрат, равна 2^.18 + 4 = 40. В самом деле, проведенные отрезки дают двукратный вклад в эту сумму, а стороны квадрата однократный. Пусть для i-й фигуры сумма длин горизонтальных частей границы равна 2x_i, вертикальных 2y_i, а ее площадь равна s_i. Тогда эту фигуру можно заключить в прямоугольник со сторонами x_i и y_i, поэтому x_iy_i $\ge$ s_i, а значит, x_i + y_i $\ge$ 2 $\sqrt{x_i y_i}$ $\ge$ 2 $\sqrt{s_i}$ . Следовательно, 40 = $\sum$ (2x_i + 2y_i) $\ge$ 4 $\sum$ $\sqrt{s_i}$ , т. е. $\sum$ $\sqrt{s_i}$ < 10.
Предположим, что s_i < 0, 01 для всех i. Тогда $\sqrt{s_i}$ < 0, 1 и 1 = $\sum$ s_i < 0, 1 $\sum$ $\sqrt{s_i}$ , т. е. $\sum$ $\sqrt{s_i}$ > 10. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	3
Название	Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема	Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер	25.020