ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58240
Тема:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник, все углы которого не превосходят 120o, разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят 120o.

Решение

Рассмотрим все точки, отличные от вершин исходного треугольника и являющиеся вершинами полученных треугольников. Пусть m из этих точек лежит внутри исходного треугольника и n на его границе. Сумма всех углов полученных треугольников равна $ \pi$ + $ \pi$n + 2$ \pi$m, т. е. число этих треугольников равно 1 + n + 2m. С другой стороны, к внутренней точке прилегает не более двух углов, превосходящих 120o, а к точке на границе — не более одного. Поэтому число полученных треугольников больше, чем число их углов, превосходящих 120o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 25
Название Разрезания, разбиения, покрытия
Тема Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер 3
Название Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер 25.021

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .