Условие
Треугольник, все углы которого не превосходят
120
o,
разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у
одного из полученных треугольников все углы не превосходят
120
o.
Решение
Рассмотрим все точки, отличные от вершин исходного треугольника
и являющиеся вершинами полученных треугольников. Пусть
m из
этих точек лежит внутри исходного треугольника и
n на его
границе. Сумма всех углов полученных треугольников равна
+
n + 2
m, т. е. число этих треугольников равно
1 +
n + 2
m. С другой стороны, к внутренней точке прилегает не
более двух углов, превосходящих
120
o, а к точке на
границе — не более одного. Поэтому число полученных
треугольников больше, чем число их углов, превосходящих
120
o.
Источники и прецеденты использования
