Условие
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите,
что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные
на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Решение
Пусть
AB — наибольшая сторона пятиугольника. Рассмотрим
полосу, заданную перпендикулярами к стороне
AB, проведенными
через
A и
B. Так как углы
EAB и
ABC тупые, точки
E и
C лежат вне этой полосы. Поэтому точка
D лежит внутри
полосы, так как иначе длина одного из отрезков
ED и
DC была
бы больше длины отрезка
AB. Обозначим проекцию точки
D на
отрезок
AB через
D1 (рис.). Тогда круги с диаметрами
AD и
BD полностью покрывают четырехугольники
AEDD1 и
BCDD1.
Источники и прецеденты использования
