Условие
На круглом столе радиуса
R расположено без наложений
n
круглых монет радиуса
r, причем больше нельзя положить ни
одной монеты. Докажите, что
R/
r
2
+ 1.
Решение
Раздуем все монеты в 2 раза, т. е. для каждой из них рассмотрим
круг радиуса 2
r с тем же центром. Если центр одной монеты не
принадлежит раздутию второй монеты, то расстояние между их
центрами больше 2
r, а значит, эти монеты не пересекаются.
Кроме того, если центр монеты удален от края стола меньше чем на
r, то она лежит внутри стола. Поэтому раздутия монет полностью
покрывают круг радиуса
R -
r, так как иначе можно было бы
положить монету с центром в непокрытой точке. Следовательно,
4
r2n
(
R -
r)
2, т. е.
2
(
R -
r)/
r.
Источники и прецеденты использования
