Информация о задаче

Задача 58274

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r $\le$ 2 $\sqrt{n}$ + 1.

Решение

Раздуем все монеты в 2 раза, т. е. для каждой из них рассмотрим круг радиуса 2r с тем же центром. Если центр одной монеты не принадлежит раздутию второй монеты, то расстояние между их центрами больше 2r, а значит, эти монеты не пересекаются. Кроме того, если центр монеты удален от края стола меньше чем на r, то она лежит внутри стола. Поэтому раздутия монет полностью покрывают круг радиуса R - r, так как иначе можно было бы положить монету с центром в непокрытой точке. Следовательно, 4 $\pi$ r²n $\ge$ $\pi$ (R - r)², т. е. 2 $\sqrt{n}$ $\ge$ (R - r)/r.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	8
Название	Покрытия
Тема	Покрытия
задача
Номер	25.052