Задача 58277

Тема:    [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Из шахматной доски со стороной а) 2ⁿ; б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис.

Решение

а) Докажем это утверждение по индукции. Для квадрата со стороной 2 оно очевидно. Предположим теперь, что можно замостить любой квадрат со стороной 2ⁿ без одной клетки, и покажем, как тогда замостить квадрат со стороной 2^{n + 1} без одной клетки. Разобьем этот квадрат на 4 квадрата со стороной 2ⁿ. Выброшенная клетка попадает в один из них, а по одной клетке в трех остальных квадратах можно покрыть одной фигуркой (рис.). Теперь в каждом из этих четырех квадратов со стороной 2ⁿ выброшено по одной клетке, поэтому их можно замостить данными фигурками.

б) Докажем сначала требуемое утверждение для n = 1, т. е. для квадрата со стороной 7. Можно считать, что выброшенная клетка лежит в одном из заштрихованных на рис. квадратиков; требуемые замощения изображены на этом же рисунке.
Покажем теперь, как с помощью замощения квадрата со стороной 6n + 1 построить замощение квадрата со стороной 6n + 7. Четыре квадрата со стороной 6n + 1, Прилегающие к вершинам квадрата со стороной 6n + 7, полностью покрывают этот квадрат. Поэтому выброшенная клетка лежит в одном из этих квадратов; замостим его. Оставшуюся часть можно разрезать на квадраты со стороной 6 и прямоугольники размером 6×7. Эти квадраты и прямоугольники можно разрезать на прямоугольники размером 2×3, каждый из которых состоит из двух плиток.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	9
Название	Замощения костями домино и плитками
Тема	Замощения костями домино и плитками
задача
Номер	25.055