Задача 58282

Тема:    [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

Решение

а) Предположим, что круг K радиуса R покрыт паркетом, состоящим из одинаковых выпуклых n-угольников. Рассмотрим все точки, лежащие внутри круга K и являющиеся вершинами n-угольников. Эти точки бывают двух типов: точки 1-го типа лежат на сторонах других n-угольников и сумма углов, сходящихся в них, равна 180^o; в точках 2-го типа сходятся углы, сумма которых равна 360^o. Пусть p и q — количества точек 1-го и 2-го типа соответственно. В каждой точке 1-го типа сходится не менее двух углов n-угольников, а в каждой точке 2-го типа — не менее трех углов. Поэтому, 2p + 3q2nL₁, где L₁ — количество n-угольников, пересекающихся с K. Суммы углов, сходящихся в точках 1-го и 2-го типа равны 180^o и 360^o соответственно. Поэтому p + 2q(n - 2)L₂, где L₂ — количество n-угольников, лежащих внутри K. Сложив неравенства 4p + 6q4nL₁ и -3p - 6q6L₂ - 3nL₂, получим p6L₂ - n(4L₁ - 3L₂), т. е. p/L₂6 - n(4L₁/L₂ - 3). Так как L₁/L₂ = 1, то p/L₂ = 6 - n. Значит, если из данных выпуклых n-угольников можно сложить паркет, то 6 - n 0, т. е. n6.
б) См. рис.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	9
Название	Замощения костями домино и плитками
Тема	Замощения костями домино и плитками
задача
Номер	25.060