Задача 58286

Тема:    [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

Решение

Пусть количество различных расстояний между точками равно k. Фиксируем две точки. Тогда все остальные точки являются точками пересечения двух семейств концентрических окружностей, содержащих по k окружностей. Следовательно, общее количество точек не превосходит 2k² + 2. Остается заметить, что 2 ^. 14² + 2 = 394 < 400.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	1
Название	Системы точек
Тема	Системы точек
задача
Номер	26.003