Задача 58290

Тема:    [ Системы точек ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

Решение

Так как + = 1, то существует угол , обладающий тем свойством, что sin = 2n/(n² + 1) и  cos = (n² - 1)/(n² + 1), причем 0 < 2N < /2 при достаточно большом n. Рассмотрим окружность радиуса R с центром O и возьмем на ней точки A₀, A₁,..., A_{N - 1} так, что A₀OA_k = 2k. Тогда A_iA_j = 2Rsin(| i-j|). Воспользовавшись формулами sin(m+1) = sin mcos + sincos m и cos(m+1) = cos mcos - sin msin, легко доказать, что числа sin m и  cos m рациональны для всех натуральных m. Возьмем в качестве R наибольший общий делитель всех знаменателей рациональных чисел sin,..., sin(N-1). Тогда A₀,..., A_{N - 1} — требуемая система точек.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	1
Название	Системы точек
Тема	Системы точек
задача
Номер	26.007