Задача 58293

Тема:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Условие

Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n, обладает тем свойством, что любая прямая OA_i содержит еще одну вершину A_j. Докажите, что кроме точки O никакая другая точка не обладает этим свойством.

Решение

Из условия следует, что все вершины многоугольника разбиваются на пары, задающие диагонали A_iA_j, которые проходят через точку O. Поэтому число вершин четно и по обе стороны от каждой такой диагонали A_iA_j лежит равное число вершин. Следовательно, j = i + m, где m — половина числа вершин. Таким образом, точка O является точкой пересечения диагоналей, соединяющих противоположные вершины. Ясно, что точка пересечения этих диагоналей единственна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	2
Название	Системы отрезков, прямых и окружностей
Тема	Системы отрезков, прямых и окружностей
задача
Номер	26.010