Условие
Точка
O, лежащая внутри выпуклого многоугольника
A1...
An,
обладает тем свойством, что любая прямая
OAi содержит еще одну
вершину
Aj. Докажите, что кроме точки
O никакая другая точка
не обладает этим свойством.
Решение
Из условия следует, что все вершины многоугольника
разбиваются на пары, задающие диагонали
AiAj, которые проходят
через точку
O. Поэтому число вершин четно и по обе стороны от
каждой такой диагонали
AiAj лежит равное число вершин.
Следовательно,
j =
i +
m, где
m — половина числа вершин. Таким
образом, точка
O является точкой пересечения диагоналей, соединяющих
противоположные вершины. Ясно, что точка пересечения этих
диагоналей единственна.
Источники и прецеденты использования
