Задача 58295

Тема:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9

Условие

На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

Решение

Пусть A — общая точка первых трех окружностей S₁, S₂ и S₃. Обозначим точки пересечения окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ через B, C, D соответственно. Предположим, что существует окружность S, не проходящая через точку A. Тогда окружность S проходит через точки B, C и D. Пусть S' — пятая окружность. Каждая пара точек из набора A, B, C, D является парой точек пересечения двух из окружностей S₁, S₂, S₃, S. Поэтому окружность S' проходит через одну точку из каждой пары точек A, B, C, D. С другой стороны, окружность S' не может проходить через три точки из A, B, C, D, поскольку каждая тройка этих точек задает одну из окружностей S₁, S₂, S₃, S. Поэтому окружность S' не проходит через какие-то две из этих точек. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	2
Название	Системы отрезков, прямых и окружностей
Тема	Системы отрезков, прямых и окружностей
задача
Номер	26.012