Условие
На плоскости расположено n
5 окружностей так,
что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что
тогда и все окружности имеют общую точку.
Решение
Пусть A — общая точка первых трех окружностей S1, S2
и S3. Обозначим точки пересечения окружностей S1 и S2, S2
и S3, S3 и S1 через B, C, D соответственно. Предположим,
что существует окружность S, не проходящая через точку A. Тогда
окружность S проходит через точки B, C и D. Пусть S' — пятая окружность. Каждая пара точек из набора A, B, C, D
является парой точек пересечения двух из окружностей S1, S2,
S3, S. Поэтому окружность S' проходит
через одну точку из каждой
пары точек A, B, C, D. С другой стороны, окружность S' не
может проходить через три точки из A, B, C, D, поскольку каждая
тройка этих точек задает одну из окружностей S1, S2, S3, S.
Поэтому окружность S' не проходит через какие-то две из этих точек.
Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
