ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58295
Тема:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 5+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположено n$ \ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

Решение

Пусть A — общая точка первых трех окружностей S1, S2 и S3. Обозначим точки пересечения окружностей S1 и S2, S2 и S3, S3 и S1 через B, C, D соответственно. Предположим, что существует окружность S, не проходящая через точку A. Тогда окружность S проходит через точки B, C и D. Пусть S' — пятая окружность. Каждая пара точек из набора A, B, C, D является парой точек пересечения двух из окружностей S1, S2, S3, S. Поэтому окружность S' проходит через одну точку из каждой пары точек A, B, C, D. С другой стороны, окружность S' не может проходить через три точки из A, B, C, D, поскольку каждая тройка этих точек задает одну из окружностей S1, S2, S3, S. Поэтому окружность S' не проходит через какие-то две из этих точек. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 26
Название Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема Системы точек и отрезков
параграф
Номер 2
Название Системы отрезков, прямых и окружностей
Тема Системы отрезков, прямых и окружностей
задача
Номер 26.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .