Каждую вершину куба окрасили в чёрный или белый цвет. Обязательно ли найдётся равнобедренный треугольник, все вершины которого одного цвета? (Учитываются и треугольники, не лежащие в одной грани куба.)

   Решение

Тема:    [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии с центром O прямая l, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O.

Решение

Опустим из точки O перпендикуляр OC на прямую l и возьмем произвольную точку M на l. Из подобия треугольников OCM и OM^*C^* (задача 28.1) следует, что OM^*C^* = OCM = 90^o, т. е. точка M^* лежит на окружности S с диаметром OC^*. Если X — какая-то точка S, отличная от O, то она является образом при инверсии точки Y пересечения прямых l и OX (так как образ точки Y лежит, с одной стороны, на луче OX, а с другой стороны, как уже доказано, на окружности S). Итак, инверсия переводит прямую l в окружность S (без точки O).

Источники и прецеденты использования