Информация о задаче

Задача 58320

Тема:

[

Свойства инверсии

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии с центром O окружность, проходящая через O, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через O, — в окружность.

Решение

Случай, когда окружность S проходит через O, фактически был разобран в предыдущей задаче (и формально следует из нее, так как (M^*)^* = M). Предположим теперь, что точка O не принадлежит S. Пусть A и B — точки пересечения окружности S с прямой, проходящей через O и центр S, а M — произвольная точка S. Докажем, что образом S является окружность с диаметром A^*B^*. Для этого достаточно показать, что $\angle$ A^*M^*B^* = 90^o. Но согласно задаче 28.1 $\triangle$ OAM $\sim$ $\triangle$ OM^*A^* и $\triangle$ OBM $\sim$ $\triangle$ OM^*B^*, следовательно, $\angle$ OMA = $\angle$ OA^*M^* и $\angle$ OMB = $\angle$ OB^*M^*, точнее, $\angle$ (OM, MA) = - $\angle$ (OA^*, M^*A^*) и $\angle$ (OM, MB) = - $\angle$ (OB^*, M^*B^*) (чтобы не рассматривать различные случаи расположения точек, мы воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми, изложенными в гл. 2). Поэтому $\angle$ (A^*M^*, M^*B^*) = $\angle$ (A^*M^*, OA^*) + $\angle$ (OB^*, M^*B^*) = $\angle$ (OM, MA) + $\angle$ (MB, OM) = $\angle$ (MB, MA) = 90^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	1
Название	Свойства инверсии
Тема	Свойства инверсии
задача
Номер	28.003