Задача 58326

Темы:    [ Построение окружностей ] [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Постройте образ точки A при инверсии относительно окружности S с центром O.

Решение

Пусть точка A лежит вне окружности S. Проведем через A прямую, касающуюся S в точке M. Пусть MA' — высота треугольника OMA. Прямоугольные треугольники OMA и OA'M подобны, поэтому A'O : OM = OM : OA и  OA' = R²/OA, т. е. точка A' искомая. Если же A находится внутри S, то выполним построение в обратном порядке: проводим перпендикуляр AM к OA (точка M лежит на окружности). Тогда касательная к S в точке M пересекается с лучом OA в искомой точке A^*. Доказательство повторяется дословно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	3
Название	Построения одним циркулем
Тема	Теорема Мора-Маскерони
задача
Номер	28.017
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	2
Название	Построение окружностей
Тема	Построение окружностей
задача
Номер	28.008