Задача 58434

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Условие

Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ вершины A₁ и A₂ лежат на прямой a; B₁ и B₂ — на прямой b; C₁ и C₂ — на прямой c. A, B, C — точки пересечения прямых B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂, A₁B₁ и A₂B₂ соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг).

Решение

Сделаем проективное преобразование с исключительной прямой AB. Образы точек при этом преобразовании будем обозначать буквами со штрихом. Рассмотрим гомотетию с центром в точке O' (или параллельный перенос, если O' — бесконечно удаленная точка), переводящую точку C₁' в C₂'. При этой гомотетии отрезок B₁'C₁' перейдет в отрезок B₂'C₂', поскольку B₁'C₁'| B₂'C₂'. Аналогично C₁'A₁' перейдет в C₂'A₂'. Поэтому соответственные стороны треугольников A₁'B₁'C₁' и  A₂'B₂'C₂' параллельны, т. е. все три точки A', B', C' лежат на бесконечно удаленной прямой.