Условие
Прямые
a,
b,
c пересекаются в одной точке
O.
В треугольниках
A1B1C1 и
A2B2C2 вершины
A1 и
A2 лежат
на прямой
a;
B1 и
B2 — на прямой
b;
C1 и
C2 —
на прямой
c.
A,
B,
C — точки пересечения прямых
B1C1
и
B2C2,
C1A1 и
C2A2,
A1B1 и
A2B2 соответственно.
Докажите, что точки
A,
B,
C лежат на одной прямой (Дезарг).
Решение
Сделаем проективное преобразование с исключительной
прямой
AB. Образы точек при этом преобразовании будем обозначать
буквами со штрихом. Рассмотрим гомотетию с центром в точке
O'
(или параллельный перенос, если
O' — бесконечно удаленная
точка), переводящую точку
C1' в
C2'. При этой гомотетии отрезок
B1'
C1' перейдет в отрезок
B2'
C2', поскольку
B1'
C1'|
B2'
C2'. Аналогично
C1'
A1' перейдет в
C2'
A2'. Поэтому
соответственные стороны треугольников
A1'
B1'
C1' и
A2'
B2'
C2'
параллельны, т. е. все три точки
A',
B',
C' лежат на бесконечно
удаленной прямой.
