ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58470
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ,  y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'2 + 2bx'y' + cy'2 переходит в a1x'2 + 2b1x''y'' + c1y'2, причём a1c1 - b12 = ac - b2.

Решение

При решении задачи 31.002 мы получили, что

a1 = a cos2$\displaystyle \varphi$ - 2b cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + c sin2$\displaystyle \varphi$,    
b1 = a cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + b(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$) - c cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$,    
c1 = a sin2$\displaystyle \varphi$ + 2b cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + c cos2$\displaystyle \varphi$.    

Поэтому

a1c1 - b12 = (a + c)sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ + ac(sin4$\displaystyle \varphi$ + cos4$\displaystyle \varphi$) -    
  -2b(a - c)sin$\displaystyle \varphi$cos$\displaystyle \varphi$(sin2$\displaystyle \varphi$ - cos2$\displaystyle \varphi$) - 4b2sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ -    
  - (a + c)sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ + 2ac sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ -    
  -2b(a - c)sin$\displaystyle \varphi$cos$\displaystyle \varphi$(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$) - b2(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$)2 =    
  = ac - b2.    


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Классификация кривых второго порядка
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .