ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58472
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если ac - b2 = 0, то кривая Q(xy) + 2dx + 2ey = f, где Q (xy) = ax2 + 2bxy + cy2 изометрична либо кривой y2 = 2px (называемой параболой), либо паре параллельных прямых y2 = c2, либо паре слившихся прямых y2 = 0, либо представляет собой пустое множество.

Решение

Если b = 0, то a = 0 или c = 0. Сделав при необходимости замену координат x' = y и y' = x, можно считать, что a = 0. Пусть теперь b ≠ 0. При повороте

x = x'cos$\displaystyle \varphi$ + y'sin$\displaystyle \varphi$,    y = - x'sin$\displaystyle \varphi$ + y'cos$\displaystyle \varphi$

выражение ax2 + 2bxy + cy2 переходит в a1x'2 + 2b1x'y' + c1y'2, где a1 = a cos2$ \varphi$ - 2b cos$ \varphi$sin$ \varphi$ + c sin2$ \varphi$. По условию ac = b2, поэтому если tg$ \varphi$ = $ \sqrt{a/c}$, то a1 = 0.
Итак, в обоих случаях мы приходим к уравнению вида y2 + 2dx + 2ey = f. Сделаем замену x' = x + x0, y' = y + e. В результате получим уравнение y'2 - e2 + 2d (x' - x0) = f. Если d = 0, то получаем уравнение вида y'2 = $ \lambda$, а если d ≠ 0, то при соответствующем выборе x0 получаем уравнение y'2 + 2dx' = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Классификация кривых второго порядка
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .