Информация о задаче

Задача 58473

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ — постоянная величина, есть эллипс.

Решение

Поместим начало координат посередине между точками F₁ и F₂, ось Ox направим по отрезку F₁F₂, а ось Oy — перпендикулярно оси Ox. Пусть F₁ и F₂ имеют координаты (c, 0) и (- c, 0), соответственно, а сумма расстояний от точки X = (x, y) до F₁ и F₂ равна 2a. Тогда

$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}$ = 2a - $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ $\displaystyle \rightarrow$
(x - c)² + y² = 4a² - 4a $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ + (x + c)² + y² $\displaystyle \rightarrow$
a $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ = a² + xc $\displaystyle \rightarrow$
a²(x² + 2xc + c²) + a²y² = a⁴ + 2a²xc + x²c² $\displaystyle \rightarrow$
(a² - c²)x² + a²y² = a²(a² - c²).

В итоге, обозначив b² = a² - c², получаем x²/a² + y²/b² = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.006