Задача 58474

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

Решение

Точки $(x', y')$ и $(x'', y'')$ пересечения эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ и прямой $y = p x + q$ найдем, решив квадратное уравнение $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}=1.$$ По теореме Виета $(x'+x'')/2=-a^2pq/(b^2+a^2p^2)$ и, значит, $$\frac{y'+y''}2=p\frac{x'+x''}2+q=\frac{b^2q}{b^2+a^2p^2}.$$ Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой $y = px$, лежат на прямой $y=-\frac{b^2}{a^2 p} x$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.007