ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58474
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

Решение

Точки (x', y') и (x'', y'') пересечения эллипса $ {\frac{x^2}{a^2}}$ + $ {\frac{y^2}{b^2}}$ = 1 и прямой y = px + q найдем, решив квадратное уравнение

$\displaystyle {\frac{x^2}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{(px+q)^2}{b^2}}$ = 1.

По теореме Виета (x' + x'')/2 = - a2pq/(b2 + a2p2) и, значит,

$\displaystyle {\frac{y'+y''}{2}}$ = p$\displaystyle {\frac{x'+x''}{2}}$ + q = $\displaystyle {\frac{b^2q}{b^2+a^2p^2}}$.

Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой y = px, лежат на прямой y = - $ {\frac{b^2}{a^2}}$px.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .