ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58474
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

Решение

Точки $(x', y')$ и $(x'', y'')$ пересечения эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ и прямой $y = p x + q$ найдем, решив квадратное уравнение $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}=1.$$ По теореме Виета $(x'+x'')/2=-a^2pq/(b^2+a^2p^2)$ и, значит, $$\frac{y'+y''}2=p\frac{x'+x''}2+q=\frac{b^2q}{b^2+a^2p^2}.$$ Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой $y = px$, лежат на прямой $y=-\frac{b^2}{a^2 p} x$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .