Информация о задаче

Задача 58475

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение касательной к эллипсу ${\frac{x^2}{a^2}}$ + ${\frac{y^2}{b^2}}$ = 1, проведенной в точке X = (x₀, y₀), имеет вид

$\displaystyle {\frac{x_0x}{a^2}}$ + $\displaystyle {\frac{y_0y}{b^2}}$ = 1.

Решение

Это уравнение можно получить, воспользовавшись тем, что касательная к эллипсу — это прямая, касающаяся его ровно в одной точке. Действительно, если ${\frac{x_0^2}{a^2}}$ + ${\frac{y_0^2}{b^2}}$ = 1, ${\frac{x^2}{a^2}}$ + ${\frac{y^2}{b^2}}$ = 1 и ${\frac{x_0x}{a^2}}$ + ${\frac{y_0y}{b^2}}$ = 1, то ${\frac{(x_0-x)^2}{a^2}}$ + ${\frac{(y_0-y)^2}{b^2}}$ = 0, поэтому (x₀, y₀) = (x, y).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.008