Версия для печати
Убрать все задачи

---

Постройте точку M внутри данного треугольника так, что S_ABM : S_BCM : S_ACM = 1 : 2 : 3.

   Решение

---

Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что  ab = 600?

   Решение

---

Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.

Решение

Проведем касательную в точке X, лежащей на эллипсе, и биссектрису ко внешнему углу при вершине X треугольника F₁XF₂. Если бы биссектриса не совпала с касательной, она пересекла бы эллипс в другой точке M X. Отразим F₂ относительно биссектрисы. Получим точку F₂'. Имеем

т. е. M лежит вне эллипса — противоречие. Значит, биссектриса совпадает с касательной, и следовательно, угол падения (т. е. угол прямой F₁X c касательной) равен углу отражения (т. е. углу прямой F₂X с касательной). Таким образом, доказано, что лучи, исходящие из F₁, соберутся в F₂.

Источники и прецеденты использования