Задача 58478

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Решение

а) Эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании. Сопряженные диаметры эллипса являются образами перпендикулярных диаметров окружности. Ясно также, что при аффинном преобразовании сохраняется отношение площадей фигур.
б) Можно считать, что точки O, A и B имеют координаты (0, 0), (a cos, b sin) и (- a sin, b cos).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.011