ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58479
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности.
б) Пусть d1 и d2 — расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина d1d2 не зависит от выбора касательной.

Решение

Пусть O — центр эллипса, P1 и P2 -- проекции фокусов F1 и F2 на касательную, A — точка касания. Тогда $ \angle$P1AF1 = $ \angle$P2AF2 = $ \varphi$. Положим x = F1Ay = F2A. Величина x + y = c не зависит от точки A. Поэтому

P1O2 = P2O2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right.$$\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$cos$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right.$$\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$sin$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{4}}$.

Кроме того, F1F22 = x2 + y2 + 2xy cos 2$ \varphi$ = c2 - 4xy sin2$ \varphi$, поэтому величина xy sin2$ \varphi$ = d1d2 постоянна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .