Задача 58480

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Из точки O проведены касательные OA и OB к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что AOF₁ = BOF₂ и AF₁O = BF₁O.

Решение

Пусть точки G₁ и G₂ симметричны F₁ и F₂ относительно прямых OA и OB соответственно. Точки F₁, B и G₂ лежат на одной прямой и F₁G₂ = F₁B + BG₂ = F₁B + BF₂. Треугольники G₂F₁O и G₁F₂O имеют равные стороны. Поэтому G₁OF₁ = G₂OF₂ и AF₁O = AG₁O = BF₁O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.013