Информация о задаче

Задача 58484

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

Решение

а) Пусть d = a/e. Тогда de² = ${\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}}$ ^. ${\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}$ = c, при этом величина d — расстояние от начала координат до директрисы. Проверим, что множество точек X = (x, y), для которых отношение расстояния до фокуса (c, 0) к расстоянию до директрисы x = d равно e, т. е. множество точек, задаваемых уравнением

$\displaystyle {\frac{(x_1-c)^2+x_2^2}{(x_1-d)^2}}$ = e²,

(*)

есть эллипс. Равенство (*) при условии, что c = de², эквивалентно равенству

$\displaystyle {\frac{x^2}{d^2e^2}}$ + $\displaystyle {\frac{y^2}{d^2e^2(1-e^2)}}$ = 1,

совпадающему с каноническим уравнением эллипса, так как d²e² = a², d²e²(1 - e²) = b².
б) Пусть прямая l задана уравнением x = d, а точка F имеет координаты (c, 0). Тогда рассматриваемому множеству принадлежат две точки с координатами (x, 0), удовлетворяющими уравнению ${\dfrac{x-c}{x-d}}$ = ±e. Поместим начало координат посредине между этими точками. Тогда

$\displaystyle {\frac{de+c}{1+e}}$ + $\displaystyle {\frac{-de+c}{1-e}}$ = 0,

т. е. c = de². В таком случае уравнение (*) эквивалентно каноническому уравнению эллипса.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.017