Задача 58486

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Хорда PQ окружности x² + y² = a² + b² с центром O касается эллипса + = 1. Докажите, что прямые PO и QO содержат сопряженные диаметры эллипса.

Решение

Для рассматриваемого эллипса вершины описанного вокруг него прямоугольника со сторонами, параллельными осям эллипса, лежат на рассматриваемой окружности. Согласно задаче 31.018 вершины всех остальных прямоугольников, описанных вокруг рассматриваемого эллипса, лежат на рассматриваемой окружности. Поэтому хорда PQ является стороной прямоугольника, описанного вокруг эллипса. Согласно задаче 31.016 диагонали этого прямоугольника содержат сопряженные диаметры эллипса.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.019