Информация о задаче

Задача 58488

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Нормаль к эллипсу в точке A пересекает малую полуось в точке Q, P — проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, что AP^.AQ = a², где a — большая полуось.

Решение

Точка Q лежит на описанной окружности треугольника AF₁F₂, где F₁ и F₂ — фокусы эллипса. При этом Q — середина дуги F₁F₂. Если R — радиус описанной окружности, $\alpha$ и $\beta$ — углы при вершинах F₁ и F₂, то

AQ = 2R cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ , AP = 2R sin² $\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ .

Поэтому

AP^.AQ = $\displaystyle \Bigl($ 2R sin $\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ $\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$ = (R sin $\displaystyle \alpha$ + R cos $\displaystyle \alpha$ )² = $\displaystyle \Bigl($ $\displaystyle {\frac{AF_1+AF_2}{2}}$ $\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.021