ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58492
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К эллипсу с центром O проведены две параллельные касательные l1 и l2. Окружность с центром O1 касается (внешним образом) эллипса и прямых l1 и l2. Докажите, что длина отрезка OO1 равна сумме полуосей эллипса.

Решение

Пусть $ \varphi$ — угол между любой из рассматриваемых касательных и осью Ox. Рассмотрим окружность S с центром ((a + b)cos$ \varphi$,(a + b)sin$ \varphi$), проходящую через точку A = (a cos$ \varphi$, b sin$ \varphi$).
Касательная к эллипсу в точке A задается уравнением

$\displaystyle {\frac{a\cos\varphi}{a^2}}$x + $\displaystyle {\frac{b\sin\varphi}{b^2}}$y = 1.

Эта прямая перпендикулярна прямой AO1, которая задается уравнением

y = $\displaystyle {\frac{a\sin\varphi}{b\cos\varphi}}$x + c.

Поэтому окружность S касается эллипса.
Докажем теперь, что окружность S касается прямых l1 и l2. Пусть прямая l1 касается эллипса в точке (- a cos$ \alpha$, b sin$ \alpha$). Тогда она имеет уравнение

$\displaystyle {\frac{-x\cos\alpha}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{y\sin\alpha}{b}}$ = 1.

Это, в частности, означает, что tg$ \varphi$ = $ {\dfrac{b\cos\alpha}{a\sin\alpha}}$. Квадрат расстояния от начала координат до прямой l1 равен

$\displaystyle {\frac{b^2}{\sin^2\alpha}}$ . $\displaystyle {\frac{1}{1+{\rm tg}^2\varphi}}$ = b2$\displaystyle {\frac{\cos^2\varphi}{\sin^2\alpha}}$ = b2cos2$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right)$ = b2cos2$\displaystyle \varphi$ + a2sin2$\displaystyle \varphi$.

Последнее выражение совпадает с квадратом радиуса окружности S. Для прямой l2 получаем точно такое же выражение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.025

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .