ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58493
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC2 = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$.


Решение

Нормаль к эллипсу в точке (x0, y0) задается уравнением

$\displaystyle {\frac{-y_0}{b^2}}$x + $\displaystyle {\frac{x_0}{a^2}}$y = x0y0$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right)$.

Она пересекает большую полуось в точке с координатой

x1 = b2x0$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right)$ = x0$\displaystyle {\frac{a^2-b^2}{a^2}}$.

При этом

r2 = y02 + x02$\displaystyle {\frac{b^4}{a^4}}$ = b2 - b2x02$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{b^2}{a^4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right)$.

Легко проверить, что

$\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ = x12.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.026

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .