Информация о задаче

Задача 58500

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

Решение

а) Пусть x² = 2py. Тогда квадрат расстояния от точки (x, y) до точки (0, p/2) равен

x² + $\displaystyle \left(\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right.$ y - $\displaystyle {\frac{p}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$ = 2py + y² - py + $\displaystyle {\frac{p^2}{4}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$ y + $\displaystyle {\frac{p}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$ ,

а расстояние от точки (x, y) до прямой y = - p/2 равно $\left\vert\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$ y + ${\frac{p}{2}}$ $\left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right\vert$ .
б) Можно считать, что фиксированная точка имеет координаты (0, p/2), а фиксированная прямая задаётся уравнением y = - p/2. Тогда множество точек (x, y), для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, задаётся уравнением

x² + $\displaystyle \left(\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right.$ y - $\displaystyle {\frac{p}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$ y + $\displaystyle {\frac{p}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$ ,

т.е. x² = 2py.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Парабола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.033