Задача 58503

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Из точки O проведены касательные OA и OB к параболе с фокусом F. Докажите, что AFB = 2AOB, причем луч OF — биссектриса угла AFB.

Решение

Пусть A₁ и B₁ — проекции точек A и B на директрису. Тогда AO и BO — серединные перпендикуляры к отрезкам A₁F и B₁F. Поэтому A₁O = FO = B₁O, а значит, A₁B₁O = B₁A₁O = . Следовательно, OFA = OFB = 90^o + и AFB = 180^o - 2 = A₁OB₁ = 2AOB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Парабола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.036