Информация о задаче

Задача 58505

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Касательные к параболе в точках $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ образуют треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) $S_{\alpha\beta\gamma}=2S_{ABC}$ ;
г) $\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}= \sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$ .

Решение

а) Проекция фокуса F на касательную к параболе лежит на касательной к параболе, перпендикулярной оси. Поэтому проекции A', B', C' фокуса F на прямые BC, CA, AB лежат на одной прямой. Это означает, что точка F лежит на описанной окружности треугольника ABC. В самом деле, $\angle$ AFC' = $\angle$ AB'C' = $\angle$ A'B'C = $\angle$ A'FC, поэтому $\angle$ CFA = $\angle$ A'FC' = 180^o - $\angle$ B.
б) Касательные к параболе x² = 4y в точках (2t_i, t_i²) задаются уравнениями y = t_ix - t_i². Они пересекаются в точках (t_i + t_j, t_it_j). Легко проверить, что ортоцентром треугольника с вершинами в трех таких точках служит точка (t₁ + t₂ + t₃ + t₁t₂t₃, - 1).
в) Можно считать, что парабола задается уравнением x² = 4y. В таком случае точки $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ имеют координаты (2t_i, t_i²), i = 1, 2, 3. Легко проверить, что

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \begin{vmatrix} 2t_1&t^2_1&1 \\ 2t_2&t^2_2&1 \\ 2t_3&t_3^2&1 \end{vmatrix}$ , S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \begin{vmatrix} t_2+t_3&t_2t_3&1 \\ t_3+t_1&t_3t_1&1 \\ t_1+t_2&t_1t_2&1 \end{vmatrix}$ .

г) Существует аффинное преобразование, переводящее ось параболы и прямую AC в пару перпендикулярных прямых. Поэтому можно считать, что точки $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ имеют координаты (2t₁, t₁²),(0, 0),(2t₃, t₃²), причем t₁ < 0 и t₃ > 0. В таком случае

S_C = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ t₁³, S_A = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ t₃³, S_B = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \begin{vmatrix} 2t_3&t_3^2&1 \\ 2t_1&t_1^2&1 \\ t_1+t_3&t_1t_3&1 \end{vmatrix}$ = $\displaystyle {\frac{(t_3-t_1)^3}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Парабола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.038