ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58518
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

f = $\displaystyle \lambda$lABlCD + $\displaystyle \mu$lBClAD,

где $ \lambda$ и $ \mu$ — некоторые числа.

Решение

Первое решение. Пусть X — точка данной окружности, отличная от точек A, B, C и D. Выберем числа $ \lambda_{1}^{}$ и $ \mu_{1}^{}$ так, что

$\displaystyle \lambda_{1}^{}$lAB(X)lCD(X) + $\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC(X)lAD(X) = 0,

и рассмотрим кривую, заданную уравнением f1 = 0, где f1 = $ \lambda_{1}^{}$lABlCD + $ \mu_{1}^{}$lBClAD. Эта кривая задается уравнением второй степени и проходит через точки A, B, C, D и X. Но если кривая второй степени пересекает окружность в пяти различных точках, то эта кривая совпадает с окружностью, а значит, f = $ \alpha$f1, где $ \alpha$ — некоторое число.

Второе решение. Введем косоугольную систему координат с осями AB и AD. Тогда прямые AB и AD задаются уравнениями y = 0 и x = 0 соответственно, а уравнение f = 0, задающее окружность, является уравнением второй степени относительно x и y.
Ограничения функций f и $ \lambda$lABlCD + $ \mu$lBClAD = $ \lambda$ylCD + $ \mu$xlBC на любую из осей координат являются квадратными трехчленами с двумя общими корнями (A и B, или A и D). Поэтому числа $ \lambda$ и $ \mu$ можно подобрать так, что многочлен

P(x, y) = f (x, y) - $\displaystyle \lambda$ylCD(x, y) - $\displaystyle \mu$xlBC(x, y)

обращается в нуль как при x = 0, так и при y = 0. Это означает, что он делится на xy, т. е. P(x, y) = qxy, где q — константа. В точке C многочлен P обращается в нуль, а xy$ \ne$ 0. Поэтому q = 0, т. е.

f = $\displaystyle \lambda$lABlCD + $\displaystyle \mu$lBClAD.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 5
Название Пучки коник
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.051

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .