Задача 58524

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Две коники имеют 4 общих точки. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда оси коник перпендикулярны.

Решение

На направление осей коники влияют лишь квадратичные члены ее уравнения, поэтому будем учитывать только их. Можно считать, что уравнение одной из коник имеет вид ax² + by² + ... = 0. Если линейная комбинация этого уравнения и уравнения a₁x² + b₁y² + c₁xy + ... = 0 имеет вид x² + y² + ... = 0, то c₁ = 0, т. е. оси коник перпендикулярны. Пусть наоборот c₁ = 0. Положим = - (случай a₁ = b₁ соответствует окружности). Тогда a + a₁ = b + b₁. Остается заметить, что если a + a₁ = b + b₁ = 0, то рассматриваемые коники имеют не более двух общих точек, так как среди линейных комбинаций их уравнений есть линейное уравнение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.057