Задача 58528

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть a и b — фиксированные комплексные числа. Докажите, что при изменении φ от 0 до 2π точки вида aeⁱ + be^-i заметают эллипс или отрезок.

Решение

Рассмотрим отображение z az + b. В координатах (x, y), где x + iy = z, это отображение линейное, причем его определитель равен |a|² - |b|². Образом окружности |z| = 1 при невырожденном линейном отображении будет эллипс, а при вырожденном — отрезок или точка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.061