Задача 58529

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть a, b, c, d — фиксированные числа. Докажите, что когда угол пробегает все возможные значения, точки с координатами

x = a cos + b sin,    y = c cos + d sin

заметают эллипс или отрезок.

Решение

Несложные вычисления показывают, что

(c² + d²)x² - 2(ac + bd )xy + (a² + b²)y² = (ad - bc)².

Ясно также, что координаты всех точек рассматриваемой кривой ограничены. Если adbc, то получаем эллипс, а если ad = bc — отрезок.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.062