Информация о задаче

Задача 58540

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$ ${\frac{P(t)}{A(t)}}$ , ${\frac{Q(t)}{A(t)}}$ $\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$ — рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи 31.071. Докажите, что степень каждого из многочленов A, P, Q не превосходит 2.

Решение

Для многочлена A(t) = ct² + a это видно непосредственно. Для каждого фиксированного $\lambda$ прямая x = $\lambda$ пересекает конику не более чем в двух точках, поэтому уравнение P(t) = $\lambda$ A(t) имеет не более двух корней. Следовательно, степень многочлена P не превосходит 2. Для многочлена Q доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	7
Название	Рациональная параметризация
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.073