ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60276
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть  a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   an+T = an  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.


Решение

а) В любом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент.

б) Пусть t – наименьший период и  T = tq + r,  где  0 < r < t.  Тогда  an+r = an+T–tq = an+T = an  для любого n, то есть r – тоже период. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 1
Название Аксиома индукции
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .