Условие
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его
справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции
равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел
содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то
оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого
a, и из предположения, что утверждение верно для всех
натуральных чисел k, таких, что
a 
k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k 
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение
верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для
некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
|
Год издания |
2002 |
|
Название |
Алгебра и теория чисел |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
1 |
|
глава |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Метод математической индукции |
|
Тема |
Индукция |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Аксиома индукции |
|
Тема |
Индукция (прочее) |
|
задача |
|
Номер |
01.004 |
