Задача 60290

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Условие

Докажите, что для любого натурального n  10ⁿ + 18n – 1  делится на 27.

Решение

(10ⁿ – 1) + 18n = 9(10^n–1 + 10^n–2 + ... + 1 + 2n),  а  10^n–1 + 10^n–2 + ... + 1 + 2n ≡ 3n (mod 3),  то есть делится на 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	2
Название	Тождества, неравенства и делимость
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.017