Задача 60297

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что для любого натурального n  2³ⁿ + 1  делится на 3ⁿ⁺¹.

Решение

2³ⁿ + 1 = (2 + 1)(2² – 2 + 1)(2⁶ – 2³ + 1)...(2^2·3n–1 – 2^3n–1 + 1).  Выражение в каждой скобке делится на 3, поскольку при нечётном k
2^2k – 2^k + 1 ≡ (–1)^2k – (–1)^k + 1 = 3 (mod 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	2
Название	Тождества, неравенства и делимость
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.024