ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60297
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального n  23n + 1  делится на 3n+1.


Решение

23n + 1 = (2 + 1)(22 – 2 + 1)(26 – 23 + 1)...(22·3n–1 – 23n–1 + 1).  Выражение в каждой скобке делится на 3, поскольку при нечётном k
22k – 2k + 1 ≡ (–1)2k – (–1)k + 1 = 3 (mod 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 2
Название Тождества, неравенства и делимость
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.024

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .