Задача 60306

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите неравенство:  2ⁿ > n.

Решение 1

Заметим, что  (a – 1)(b – 1) ≥ 1  при  a, b ≥ 2.  Отсюда  ab ≥ a + b.  Следовательно,  2ⁿ ≥ 2 + 2 + ... + 2 = 2n > n.

Решение 2

  Применим индукцию. База:  2¹ > 1.
  Шаг индукции.  2ⁿ⁺¹ > 2n = n + n ≥ n + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	2
Название	Тождества, неравенства и делимость
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.033