Задача 60312

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Для каких n выполняются неравенства:   а)  n! > 2ⁿ;   б)  2ⁿ > n².

Решение

  а) При  n > 3   n! = 1·2·3·4·5·...·n > 1·2·2·2²·2·...·2 = 2ⁿ.

  б) Индукция. База:  2⁵ > 5².
  Шаг индукции.   2ⁿ⁺¹ > 2n² = (n + 1)² + (n – 1)² – 2 > (n + 1)².

Ответ

Для   а)  n > 3;   б)  n = 1  и  n > 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	2
Название	Тождества, неравенства и делимость
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.039