Задача 60318

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

Решение

Если квадрат допускает разбиение на n квадратов, то он допускает разбиение и на n + 3 квадрата (достаточно один из квадратов разрезать на четыре). Разобьем все натуральные числа на три арифметические прогрессии n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2, и в каждой из них найдем минимальное n, для которого задача имеет решение. В первой прогрессии минимальное такое n равно 6, во второй — 4, в третьей — 8. (Требуемые разбиения строятся из квадратов 3×3, 2×2 и 5×5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	3
Название	Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.045