Задача 60334

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

Решение

  Нам нужно найти число троек  (a, b, c)  натуральных чисел, где  a ≤ b ≤ c,  a + b + c = 100,  a + b > c.
  Ясно, что c может принимать значения от 34 до 49. При каждом из этих значений  a + b = 100 – c,  значит, b может принимать значения от
½ (100 – c)  до c, точнее, от  50 – ^c/₂  до c при чётном c (всего  ^3c/₂ – 49  вариантов) и от  50 – ^c–1/₂  до c – при нечётном  (^3c–1/₂ – 49  вариантов).
  Итак, при  с = 34, 36, ..., 48  получаем 2, 5, ..., 23 треугольника, а при  с = 35, 37, ..., 49  – 3, 6, ..., 24 треугольника. Всего  8·26 = 208  треугольников.

Замечания

Пусть T_n – число треугольников периметра n с целыми длинами сторон. Нетрудно доказать, что
T_n = T_n–3  при чётном n,  T_n = T_n–3 + [ⁿ⁺¹/₄] = T_n–6 + [ⁿ⁺¹/₄]  при нечётном n. В частности,
T₁₀₀ = T₉₇ = T₉₁ + 24 = T₈₅ + 23 + 24 = ... = 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 18 + 19 + 21 + 22 + 23 + 24 = 208.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	3
Название	Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.061