Задача 60416

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

В разложении  (x + y)ⁿ  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.

Решение

По условию  nx^n–1y = 240,  n(n – 1)x^n–2y² = 2·720,  n(n – 1)(n – 2)x^n–3y³ = 6·1080.  Поделив второе уравнение на первое, третье – на второе и обозначив
t = ^y/_x,  получим  (n – 1)t = 6,  (n – 2)t = 4,5.  Отсюда  t = 1,5,  n – 1 = 4.  Подставим в первое уравнение:  5x⁵·1,5 = 240,  то есть   x = 2,  а  y = 3.

Ответ

x = 2,  y = 3,  n = 5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.082